Question

如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb （a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）①延长BG交DE于O，根据正方形性质推出BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°，证△BCG≌△DCE，推出BG=DE，∠CBG=∠CDE，求出∠CDE+∠DGO=90°，求出∠DOG=90°即可；②求出∠BCG=∠DCE，证△BCG≌△DCE，推出BG=DE，∠CBG=∠CDE，求出∠CDE+∠DGO=90°，求出∠DOG=90°即可；
（2）求出

BC

CD

=

CG

CE

=

b

a

，加上∠BCG=∠DCE，证△BCG∽△DCE，得出

BG

DE

=

BC

CD

=

b

a

，∠CBG=∠CDE，即可判定BG=DE不成立；推出∠EDC+∠DHO=90°，求出∠DOH=90°即可．

解答：（1）①BG=DE，BG⊥DE，
理由是：

延长BG交DE于O，
∵四边形ABCD、CGFE是正方形，
∴BC=CD=AB，CG=CE，∠BCD=∠ECD=90°，
∵在△BCG和△DCE中

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
即BG=DE，BG⊥DE；

②仍成立，
证明：∵四边形ABCD、CGFE是正方形，
∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
∵在△BCG和△DCE中

BC=CD ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
即BG=DE，BG⊥DE；

（2）解：BG=DE不成立，BG⊥DE成立，
理由是：∵四边形ABCD和四边形GCEF都是矩形，
∴AB=CD=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，
∴

BC

CD

=

CG

CE

=

b

a

，
∵∠BCG=∠DCE（已证），
∴△BCG∽△DCE，
∴

BG

DE

=

BC

CD

=

b

a

，∠CBG=∠CDE，
∵∠CBG+∠BHC=90°，
又∵∠DHO=∠BHC，
∴∠EDC+∠DHO=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE，
则BG=DE不成立，BG⊥DE成立．

点评：本题考查的知识点是正方形性质，矩形的性质，全等三角形性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，综合性比较强．