Question

12．如图，平面直角坐标系中，点A是直线y=$\frac{b}{a}x$（a≠0）上一点，过点A作AB⊥x轴于点B（2，0），若点C（4-a，b），且AC⊥OC，∠AOC=45°，OC与AB交于点D，求AD的长．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，CF⊥AB于F．则四边形ECFB是矩形．由△ACF≌△OCE，可得AF=OE=4-a，CF=CE=b，推出四边形ECFB是正方形，推出CF=CE=BE=2-a，可得b=2-a，可得AB=4-a+2-a=6-2a，令x=2代入y=$\frac{b}{a}x$，推出y=$\frac{2b}{a}$，推出A（2，$\frac{2b}{a}$）推出AB=$\frac{2b}{a}$，可得$\frac{2（2-a）}{a}$=6-2a，求出a，再求出A、D的坐标即可解决问题．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，CF⊥AB于F．则四边形ECFB是矩形．
∵∠ACO=∠FCE，
∴∠ACF=∠OCE，
∵AC=CO，∠AFC=∠CEO，
∴△ACF≌△OCE，
∴AF=OE=4-a，CF=CE=b，
∴四边形ECFB是正方形，
∴CF=CE=BE=2-a，
∴b=2-a，
∴AB=4-a+2-a=6-2a，
令x=2代入y=$\frac{b}{a}x$，
∴y=$\frac{2b}{a}$，
∴A（2，$\frac{2b}{a}$）
∴AB=$\frac{2b}{a}$，
∴$\frac{2（2-a）}{a}$=6-2a，
∴a=2-$\sqrt{2}$或2+$\sqrt{2}$（舍弃）
∴C（2+$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），A（2，2+2$\sqrt{2}$）
此时直线OC的解析式为y=（$\sqrt{2}$-1）x，
∴D（2，2$\sqrt{2}$-2），
∴AD=2+2$\sqrt{2}$-（2$\sqrt{2}$-2）=4．

点评 本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．