Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，与y轴相交一点C，与x轴负半轴相交一点A，且OA=OC，有下列5个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤c+

1

a

=-2，
其中正确的结论有

 

．（请填序号）

Answer 1

分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答：解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=-

b

2a

＞0，又因为a＜0，∴b＞0；
由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0故abc＜0，①错误；
由图象可知：对称轴x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，④正确；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，即b＞a+c，②错误；
当x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，③正确；
由图象可知：OC=|c|=c （∵c＞0），
∵OA=OC，
∴OA=OC=|c|．
则A点的坐标为（-c，0），代入函数解析式可得ac²-bc+c=0，
化简得ac-b+1=0，c+

1

a

=

b

a

，
又∵-

b

2a

=1，
∴

b

a

=-2，故c+

1

a

=-2，⑤正确．
∴③④⑤正确，
故答案为：③④⑤．

点评：二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=-

b

2a

判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b²-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b²-4ac＞0；1个交点，b²-4ac=0；没有交点，b²-4ac＜0．