Question

20．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：CN∥AB．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论CN∥AB还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，进而得出∠BAM=∠CAN，即可判断出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，
进而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出结论；
（2）同（1）的方法即可得出结论．

解答 （1）证明：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB，
（2）成立，
理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等式的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解本题的关键是用等式的性质得出∠BAM=∠CAN
借助（1）的方法解决（2），是一道中等难度的中考常考题．