Question

3．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．
（1）若∠ABC=60°，则∠ADC=120°，∠AFD=30°；
（2）求证：BE∥DF．

Answer 1

分析 （1）根据四边形内角和为360°可计算出∠ADC=120°，再根据角平分线定义得到∠FDA=$\frac{1}{2}$ADC=60°，然后利用互余可计算出∠AFD=30°；
（2）先根据BE平分∠ABC交CD于E得∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，而∠AFD=30°则∠ABE=∠AFD，于是可根据平行线的判定方法得到BE∥DF．

解答 解：（1）∵∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，
∴∠ADC=360°-∠A-∠C-∠ABC=120°，
∵DF平分∠ADC交AB于F，
∴∠FDA=$\frac{1}{2}$ADC=60°，
∴∠AFD=90°-∠ADF=30°；
故答案为120，30；

（2）BE∥DF．理由如下：
∵BE平分∠ABC交CD于E，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∵∠AFD=30°；
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE∥DF．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．