(1)解:AB+CD=BC.
①证:在Rt△ABO和Rt△OCD中,
∵∠BAO+∠AOC=90°,∠DOC+∠AOC=90°
∴∠BAO=∠DOC
∵OA=OD
∴Rt△ABO≌Rt△OCD
∴AB=OC,BO=CD
∴AB+CD=OC+BO=BC
即:AB+CD=BC
②BC=|AB-CD|.
(2)过点A作AH⊥CD,垂足为点H,连接MO
得:四边形ABCH为矩形,
∴AH=BC=AB+CD=7,DH=1
∴
∵AB=OC,
∴
∴OM=OD=5
∵点M是弧
的中点,
∴AD⊥OM
∵MN⊥BC,AH∥BC,
∴MN⊥AH
∴∠DAH=∠OMN
∴Rt△DAH∽Rt△OMN
∴
∴
∴
分析:(1)根据圆的性质可知OA=OD,根据已知可得∠ABC=∠OCD=∠AOD=90°,由余角的性质可得∠AOB=∠ODC
即可证得Rt△ABO≌Rt△OCD,可得AB+CD=BC;在两侧的证明方法一样,可求得BC=|AB-CD|.
(2)此题需要借助于辅助线,需要构造矩形与相似三角形,根据它们的性质求解即可,辅助线为过点A作AH⊥CD,垂足为点H,连接MO,可得矩形,又点M是弧
的中点,AD⊥OM,MN⊥BC,所以AH∥BC,即得MN⊥AH,∠DAH=∠OMN,即可证Rt△DAH∽Rt△OMN;根据相似三角形的性质即可求得.
点评:此题考查了圆与相似三角形的性质与判定,解题的关键是要注意数形结合思想的应用,还要注意辅助线的作法,选择好辅助线会达到事半功倍的效果.