Question

【题目】如图①，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD．

（1）图①中有　　对全等三角形，并把它们写出来　　 ；

（2）求证：BG=DG，AG=CG；

（3）若将△ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成立，如果成立，请予证明．

Answer 1

【答案】（1）3对，△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD；（2）证明见解析；（3）成立，证明见解析.

【解析】

试题（1）利用A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD可判断全等三角形的个数．

（2）先根据DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CDE，再求证△DEG≌△BFG，即可．

（3）先根据DE⊥AC，BF⊥AC，AE=CF，求证△ABF≌△CED，再求证△BFG≌△DEG，即可得出结论．

试题解析：（1）图①中有3对全等三角形，它们是△AFB≌△DEC，△DEG≌△BFG，△AGB≌△CGD．

理由：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），

∴ED=BF．

由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，

∴∠EDG=∠GBF，

∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，

∴△DEG≌△BFG，

∴EG=FG，DG=BG，

∵∠AGB=∠CGD，

∴△AGB≌△CGD；

（2）∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°

∵AE=CF，

∴AE+EF=CF+EF，

即AF=CE，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），

∴ED=BF．

由∠AFB=∠CED=90°得DE∥BF，

∴∠EDG=∠GBF，

∵∠EGD和∠FGB是对顶角，ED=BF，

∴△DEG≌△BFG，

∴EG=FG，DG=BG，

（3）第（2）题中的结论成立，

理由：∵AE=CF，

∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠AFB=∠CED=90°，

在Rt△ABF和Rt△CDE中，

∴Rt△ABF≌Rt△CED（HL），

∴BF=ED．

∵∠BFG=∠DEG=90°，

∴BF∥ED，

∴∠FBG=∠EDG，

∴△BFG≌△DEG，

∴FG=GE，BG=GD，

即第（2）题中的结论仍然成立．