Question

【题目】已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b．求cos∠DBA的值．

Answer 1

【答案】cos∠DBA＝．

【解析】

欲求∠DBA的余弦值，需将已知条件构建到一个直角三角形中求解；已知四边形ABCD中，AB＝AC＝AD；若以A为圆心，AB为半径作圆，则此圆必过C、D；延长BA交⊙A于E，则BE为⊙A的直径，连接DE．在Rt△BDE中，已知了BE＝2a，需求出BD的长；根据DC∥AB，易证得DE＝BC＝b，则根据勾股定理即可求得BD的长，由此得解．

如图，以A为圆心，以a为半径作圆．延长BA交⊙A于E点，连接ED．

∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA．

∵AC＝AD，∴∠DCA＝∠CDA，∴∠DAE＝∠CAB．

在△ABC和△DAE中，∵，∴△CAB≌△DAE（SAS），∴ED＝BC＝b．

∵BE是直径，∴∠EDB＝90°．

在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，由勾股定理得：ED2+BD2＝BE2，∴BD，∴cos∠DBA．