Question

7．如图，在平面直角坐标系中，已知点D为函数y=$\frac{18}{x}$（x＞0）上 的一点，四边形ABCD是直角梯形（点B在坐标原点处），AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），点P从A出发，以4个单位/秒的速度沿直线AD向右运动，点Q从点C同时出发，以2个单位/秒的速度沿直线CB向左运动．
（1）求点D的坐标；
（2）从运动开始，经过多少时间以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？
（3）当运动时间t=0.5 秒时，在y轴上找一点M，使得△PCM是以PC为底的等腰三角形时，请求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据梯形的性质得AD∥OC，于是可判断D点的纵坐标与A点的纵坐标相同，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定D点坐标；
（2）设运动时间为t（s），则AP=4t，CQ=2t，根据平行四边形的判定方法，当PD=CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则|6-4t|=2t，然后解绝对值方程即可；
（3）当t=0.5s时，AP=2，则P为（2，3），设M（0，y），而C（4，0），利用两点间的距离公式得到则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²，则根据等腰三角形的性质得4²+y²=2²+（3-y）²，然后解方程求出y即可得到M点的坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是直角梯形，
∴AD∥OC，
∴D点的纵坐标与A点的纵坐标相同，
当y=3时，$\frac{18}{x}$=3，解得x=6，
∴D（6，3）；
（2）设运动时间为t（s），则AP=4t，CQ=2t，
∵PD∥CQ，
∴当PD=CQ时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形，
即|6-4t|=2t，解得t=1或3，
∴从运动开始，经过1s或3s时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形；
（3）当t=0.5s时，AP=0.5×4=2，则P为（2，3），
设M（0，y），而C（4，0），则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²，
∵△PMC是以PC为底的等腰三角形，
∴MC=PM，
即4²+y²=2²+（3-y）²，解得y=-$\frac{1}{2}$，
∴M的坐标为（0，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质和梯形的性质；灵活应用平行四边形的判定方法；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；学会运用代数法解决动点问题．