Question

如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作
⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.
（1）求证：PC是⊙O的切线.
（2）若AF=1，OA=，求PC的长.

Answer 1

解：（1）证明：连结OC，

∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。
∴∠FAC=∠FCA。
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。
又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。
（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。
而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴。
∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA 。
设PA=x，则PC=
在Rt△PCO中，由勾股定理得， ，解得：。
∴PC。

解析