分析 ①首先根据EF垂直平分AB,可得AN=BN;然后根据折叠的性质,可得AB=BN,据此判断出△ABN为等边三角形,即可判断出∠ABN=60°.
②首先根据∠ABN=60°,∠ABM=∠NBM,求出∠ABM=∠NBM=30°;然后在Rt△ABM中,根据AB=2,求出AM的大小即可.
③首先根据EF∥BC,QN是△MBG的中位线,可得QN=$\frac{1}{2}$BG;然后根据BG=BM=$AB÷cos∠ABM=2÷\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,求出QN的长度即可.
④根据∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°,推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°,即可推得△BMG是等边三角形.
⑤首先根据△BMG是等边三角形,点N是MG的中点,判断出BN⊥MG,即可求出BN的大小;然后根据E点和H点关于BM称可得PH=PE,因此P与Q重合时,PN+PH=PN+PE=EN,据此求出PN+PH的最小值是多少即可.
解答 解:如图1,连接AN,
∵EF垂直平分AB,
∴AN=BN,
根据折叠的性质,可得
AB=BN,
∴AN=AB=BN.
∴△ABN为等边三角形.
∴∠ABN=60°,∠PBN=60°÷2=30°,
即结论①正确;
∵∠ABN=60°,∠ABM=∠NBM,
∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°,
∴AM=$AB•tan30°=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
即结论②不正确.
∵EF∥BC,QN是△MBG的中位线,
∴QN=$\frac{1}{2}$BG;
∵BG=BM=$AB÷cos∠ABM=2÷\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴QN=$\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
即结论③不正确.
∵∠ABM=∠MBN=30°,∠BNM=∠BAM=90°,
∴∠BMG=∠BNM-∠MBN=90°-30°=60°,
∴∠MBG=∠ABG-∠ABM=90°-30°=60°,
∴∠BGM=180°-60°-60°=60°,
∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°,
∴△BMG为等边三角形,
即结论④正确.
∵△BMG是等边三角形,点N是MG的中点,
∴BN⊥MG,∴BN=BG•sin60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=2$,
根据条件易知E点和H点关于BM对称,∴PH=PE,
∴P与Q重合时,PN+PH的值最小,此时PN+PH=PN+PE=EN,
∵EN=$\sqrt{{BN}^{2}{-BE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{-(2÷2)}^{2}}=\sqrt{3}$,
∴PN+PH=$\sqrt{3}$,
∴PN+PH的最小值是$\sqrt{3}$,
即结论⑤正确.
故答案为:①④⑤.
点评 (1)此题主要考查了几何变换综合题,考查了分析推理能力,考查了空间想象能力,考查了数形结合方法的应用,要熟练掌握.
(2)此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用,以及矩形的性质和应用,要熟练掌握.
(3)此题还考查了折叠的性质和应用,以及余弦定理的应用,要熟练掌握.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2 | D. | 3 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 30° | B. | 20° | C. | 45° | D. | 25° |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
x(亩) | 20 | 25 | 30 | 35 |
z(元) | 1700 | 1600 | 1500 | 1400 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | -1≤k<0 | B. | 1≤k≤3 | C. | k≥1 | D. | k≥3 |
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