Question

已知两个二次函数y=x²+bx+a和y=x²+ax+b（a≥0＞b）图象分别与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻的两点间的距离都相等，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：根据根与系数的关系列出函数与x轴交点横坐标与a、b的关系式，判断出每个函数两交点横坐标的大小关系，再分别列出两函数四个交点的排列顺序，再利用求根公式计算，排除不成立者即得正确答案．

解答：解：设函数y=x²+ax+b与x轴的两个交点坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0）且x₁＜x₂（1分），
函数y=x²+bx+a与x轴的两个交点坐标分别为C（x₃，0），D（x₄，0），且x₃＜x₄（2分），
则x₁+x₂=-a≤0，x₁x₂=b＜0，则x₁＜0，x₂＞0（4分），
同理x₃+x₄=-b＞0，x₃x₄=a≥0，则x₃≥0，x₄＞0（6分），
则A、B、C、D在x轴上的左右顺序为A，B，C，D或A，C，B，D或A，C，D，B（7分），
若按A，C，D，B的顺序排列，则AC=CD=DB，
则有x₃-x₁=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₃+x₄，即-a=-b，
与假设（a≥0＞b）矛盾，此不可能（9分）．
若按A、B、C、D的顺序排列，
则x₂-x₁=x₄-x₃=x₃-x₂，
由于x1，2=

-a± a2-4b

2

，
x3，4=

-b± b2-4a

2

，
则

a2-4b

=

b2-4a

，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₄，
则2×

-b- b2-4a

2

=

-a+ a2-4b

2

+

-b+ b2-4a

2

，
化简得：a+b=3

b2-4a

+

a2-4b

，
即3

b2-4a

+

a2-4b

=-4，此不可能（11分）．
若按A、C、B、D的顺序排列，则x₃-x₁=x₂-x₃=x₄-x₂，
则有x₂-x₁=x₄-x₃，且2x₃=x₁+x₂，
因此

a2-4b

=

b2-4a

，
∴（a-b）（a+b+4）=0，而a＞b，
∴a+b+4=0，又2x₃=x₂+x₁，
则2×

-b- b2-4a

2

=-a，
解之得a=0或a=-4（13分），
而a≥0，∴a=0，b=-4，经经验，
a=0，b=-4满足题设要求．故a=0，b=-4为所求（14分）．

点评：此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系及求根公式，需要深刻理解函数与方程的关系．注意解答时要进行分类讨论．