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【题目】学习概念:

三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角.如图1中∠ACD是△AOC的外角,那么∠ACD与∠A、∠O之间有什么关系呢?

∵∠ACD180°﹣∠ACO,∠A+O180°﹣∠ACO

∴∠ACD=∠A+   

结论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的   

问题探究:

(1)如图2,已知:∠AOB=∠ACP=∠BDP60°,且AOBO,则△AOC   OBD

(2)如图3,已知∠ACP=∠BDP45°,且AOBO,当∠AOB   °,△AOC≌△OBD

应用结论:

(3)如图4,∠AOB90°,OAOBACOPBDOP,请说明:ACCD+BD

拓展应用:

(4)如图5,四边形ABCDABBCBD平分∠ADCAECD,∠ABC+AEB180°,EB5,求CD的长.

【答案】O,和;(1)≌;(2)45°;(3)见解析;(4)CD5

【解析】

学习概念:∠ACD=∠A+O,理由是等量代换,所以得到结论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.问题探究:(1)由邻补角互补可知∠ACO=∠ODB120°,由外角性质可知∠AOC+OAC=∠ACP60°,等量代换得∠OAC=∠BOD,进而可证三角形AOCOBD全等.2)当∠AOB45°时,AOC≌△OBD,证法同(1.3)先证明AOC≌△OBD,可得OCBDACOD,进而可证ACCD+BD

4)在DB上取一点F使CFCD,由BD平分∠ADCAECD,可得∠AED=∠CFD,再利用等量代换,可得∠BAE=∠CBF,然后可证ABE≌△BCF,进而可得CD=BE=5.

解:

学习概念:

∵∠ACD180°﹣∠ACO,∠A+O180°﹣∠ACO

∴∠ACD180°(180°﹣∠A﹣∠O)=∠A+O

即:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,

故答案为:∠O,和.

问题探究:(1)∵∠ACP=∠BDP60°

∴∠ACO=∠ODB120°,∠AOC+OAC=∠ACP60°

∵∠AOB=∠AOC+BOD60°

∴∠OAC=∠BOD

AOCOBD中,

∴△AOC≌△OBD(AAS)

故答案为:≌.

(2)当∠AOB45°时,AOC≌△OBD,理由如下,

同(1)∵∠ACP=∠BDP45°

∴∠ACO=∠ODB135°,∠AOC+OAC=∠ACP45°

∵∠AOB=∠AOC+BOD45°

∴∠OAC=∠BOD

AOCOBD中,

∴△AOC≌△OBD(AAS)

故当∠AOB45°时,AOC≌△OBD.

(3)ACOPBDOP

∴∠ACO=∠ODB90°

∴∠1+390°

∵∠AOB90°

∴∠2+390°

∴∠1=∠2

∴△AOC≌△OBD

OCBDACOD

ACODOC+CDBD+CD,

(4)如图5,在DB上取一点F使CFCD

∴∠CFD=∠CDF

BD平分∠ADC

∴∠ADB=∠CDB

∴∠CFD=∠CDF=∠ADB

AECD

∴∠BDC=∠AED

∴∠AED=∠CFD

∵∠AEB+AFD180°,∠AEB+ABC180°

∴∠AED=∠ABC

∴∠AEB=∠BFC

∵∠AED=∠ABE+BAE,∠ABC=∠ABE+CBF

∴∠BAE=∠CBF

ABBC

∴△ABE≌△BCF

CFBE

CDCFBE =5

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