Question

已知二次函数y=ax²（a≥1）的图象上两点A，B的横坐标分别为-1，2，O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△AOB的周长为

 

．

Answer 1

分析：利用勾股定理求得OA、OB、AB的长，再分别讨论以那一条边为斜边，进一步利用勾股定理解答即可．

解答：解：如图，作AF⊥OD，BD⊥OF，AE⊥BD，
点A（-1，a），B（2，4a），由勾股定理得，
OA=

a2+1

，OB=

4+16a2

，
∵AE=1+2=3，BE=BD-DE=4a-a=3a，
AB=

AE 2+BE 2

=

9+9a2

，
因为a≥1，故OA边最小，不能为斜边；
（1）若OB为斜边，则OB²=OA²+AB²，
即4+16a²=a²+1+9+9a²，
解得a₁=1，a₂=-1（不合题意，舍去），
△AOB的周长=

2

+

20

+

18

=4

2

+2

5

；

（2）若AB为斜边，则AB²=OA²+OB²，
即9+9a²=a²+1+4+16a²，
解得a=±

2

2

（a≥1，不合题意，舍去）；
综上所知，△AOB的周长为（4

2

+2

5

）．
故填：（4

2

+2

5

）．

点评：此题主要考查勾股定理的应用以及渗透分类讨论思想．