Question

13．如图，矩形ABCD中，BC=3，AB=4，点E在AB上，点F在CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE=$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 首先连接EF交BD于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CDOF≌△BOE（AAS），即可得OB=OD，然后由勾股定理求得BD的长，继而求得OD的长，又由△DOF∽△DCB，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 解：连接EF交BD于O，

∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥BD，OE=OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，AB=DC=4，
∴∠ABO=∠FDO，
在△OEB与△OFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBO=∠FDO}\\{∠EOB=∠FOD}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴BO=DO，
∵AC=$\sqrt{B{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∵∠ODF=∠BDC，∠DOF=∠C=90°，
∴△DOF∽△DCB，
∴$\frac{DO}{DC}$=$\frac{DF}{BD}$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{4}$=$\frac{DF}{5}$，
∴DF=$\frac{25}{8}$，
∴BE=DF=$\frac{25}{8}$，
∴AE=AB-BE=4-$\frac{25}{8}$=$\frac{7}{8}$，
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．