Question

【题目】如图，已知点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．

（1）求点C的坐标及抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标；并直接写出直线BC、直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

又∵∠OCB+∠OBC=90°，

∴∠OCA=∠OBC，

又∵∠AOC=∠COB=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴ ．

又∵A（﹣1，0），B（9，0），

∴ ，

解得OC=3（负值舍去）．

∴C（0，﹣3），

故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣9），

∴﹣3=a（0+1）（0﹣9），解得a= ，

∴二次函数的解析式为y= （x+1）（x﹣9），

即y= x2﹣ x﹣3

（2）解：∵AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），

∴OO′=4，O′（4，0），

∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，

∴∠BCD= ∠BCE= ×90°=45°，

连接O′D交BC于点M，

则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D= AB=5．

∴O′D⊥x轴

∴D（4，﹣5）．

∴设直线BD的解析式为y=kx+b，

∴ ，

解得

∴直线BD的解析式为y=x﹣9．

∵C（0，﹣3），

设直线BC的解析式为：y=ax+b，

∴ ，

解得： ，

∴直线BC的解析式为：y= x﹣3

（3）．解：假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，

解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 = ．

分两种情况（如图所示）：

①∵O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，

因此，点Q1（7，﹣4）符合 = ，

∵D（4，﹣5），Q1（7，﹣4），

∴用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y= x﹣ ．

解方程组

得

∴点P1坐标为（ ， ），坐标为（ ， ）不符合题意，舍去．

②∵Q1（7，﹣4），

∴点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合 = ．

∵D（4，﹣5），Q2（7，4）．

∴用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17．

解方程组

得 ，

即

∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．

∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法二：分两种情况（如图所示）：

①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．

∵B（9，0），C（0，﹣3）．

∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y= x﹣3．

又∵DP1∥CB，

∴设直线DP1的解析式为y= x+n．

把D（4，﹣5）代入可求n=﹣ ，

∴直线DP1解析式为y= x﹣ ．

解方程组

得

∴点P1坐标为（ ， ）或（ ， ）（不符合题意舍去）．

②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），

∴∠NDB=∠CBD．

由①知，直线BC解析式为y= x﹣3．

取x=4，得y=﹣ ，

∴M（4，﹣ ），

∴O′N=O′M= ，

∴N（ ，0），

又∵D（4，﹣5），

∴直线DN解析式为y=3x﹣17．

解方程组

得 ，

∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意，舍去．

∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．

解法三：分两种情况（如图所示）：

①求点P1坐标同解法二．

②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，

此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．

由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，

又∵C（0，﹣3）

∴可求得CG的解析式为y=x﹣3，

设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，

连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，

由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，

DG的解析式为y=3x﹣17，

解方程组

得 ，

即

∴点P2坐标为（14，25），坐标为（3，﹣8）不符合题意舍去．

∴符合条件的点P有两个：P1（ ， ），P2（14，25）．

【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，及同角的余角相等可以得出∠OCA=∠OBC ，又∠AOC=∠COB=90°，从而判断出△AOC∽△COB，根据相似三角形对应边成比例得出：OA∶OC＝OC∶OB ；已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，因此求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据AB为O′的直径，且A（﹣1，0），B（9，0），从而得出OO′=4，O′（4，0），根据角平分线的定义得出∠BCD的度数 ；如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；根据B、C两点的坐标即可用待定系数法求出直线BC的解析式 ；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则 弧BQ=弧CD．

①根据O′（4，0），D（4，﹣5），B（9，0），C（0，﹣3）．

故把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，从而得出点Q1（7，﹣4）符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q1的坐标用待定系数法去除直线DQ1的解析式，然后解直线DQ1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意；
②由于Q1（7，﹣4），故点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2（7，4）也符合弧BQ与弧CD相等，根据D,Q2的坐标用待定系数法求出直线DQ2的解析式，然后解直线DQ2与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法二：
①当DP1∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．由于B（9，0），C（0，﹣3）．故用待定系数法可求出直线BC解析式 ；又DP1∥CB，及D（4，﹣5）求出直线DP1解析式为 ；然后解直线DP1与抛物线的解析式联立的方程组求出P1点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），∠NDB=∠CBD．根据直线BC的解析式，得出M的坐标，进而得出N点的坐标，从而得出直线DN的解析式，解直线DN的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 ；
解法三 ：

①求点P1坐标同解法二．

②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．由（2）题知直线BD的解析式为y=x﹣9，又C（0，﹣3）故可求得CG的解析式为，

设G（m，m﹣3），作GH⊥x轴交于x轴与H，连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，由D（4，﹣5）与G（7，4）可得，DG的解析式；解直线DG的解析式与抛物线的解析式联立的方程组求出P2点的坐标，然后判定是否符合题意 。