如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=5,BC=11.一个动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动,过点P作PQ⊥BC,交折线段BA-AD于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点N在射线BC上,当Q点到达D点时,运动结束.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时,求运动时间t的值;
(2)在整个运动过程中,设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;
(3)如图2,当点Q在线段AD上运动时,线段PQ与对角线BD交于点E,将△DEQ沿BD翻折,得到△DEF,连接PF.是否存在这样的t,使△PEF是等腰三角形?若存在,求出对应的t的值;若不存在,请说明理由.