Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D为边AB上一动点，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足为E，F. 连接EF，CD.

（1）求证：EF＝CD；

（2）当EF为何值时，EF∥AB；

（3）当四边形ECFD为正方形时，求EF的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据已知条件可证明四边形的DECF是矩形，即可得证；

（2）由勾股定理求得AB的值，再由三角形中位线定理求得EF的值；

（3）当四边形ECFD为正方形时，证明△AED∽△DFB求得正方形的边长，再由勾股定理求出EF的长即可.

（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，

∴∠DEC=∠DFC=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴四边形DECF是矩形，

∴EF=CD；

（2）如图，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=2，BC=4，

∴AB=,

∵当EF是△ABC的中位线时，EF∥AB，

∴EF=;

（3）当ECFD为正方形时，

∴DE=EC=CF=FD，DE∥BC，

∴∠ADE=∠ABC，

∵∠AED=∠DFB=90°，

∴△AED∽△DFB，

∴，

设DF=x，则DE=x，AE=2-x，BF=4-x，

∴，解得，x=

∴DE=DF=

∴EF=.