Question

6．把两个全等的直角三角板ABC和EFG叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠B=∠F=30°，斜边AB和EF长均为4．
（1）当EG⊥AC于点K，GF⊥BC于点H时如图①，求$\frac{GH}{GK}$的值；
（2）现将三角板EFG由图①所示的位置绕O点沿逆时针方向旋转，旋转角α满足条件：0°＜α＜30°如图②，EG交AC于点K，GF交BC于点H，$\frac{GH}{GK}$的值是否改变？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据30°的直角三角形的三边关系，利用已知条件和勾股定理可以求出直角三角形的三边长度，利用三角形的中位线可以求出GK，和GH的值，可以求出其比值；
（2）作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，利用三角形相似可以求出GH与GK的比值不变．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠EGF=90°，∠B=∠F=30°，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB，EG=$\frac{1}{2}$EF，
∵AB=EF=4，
∴AC=EG=2，在Rt△ACB和Rt△EGF中，由勾股定理得，
BC=GF=2$\sqrt{3}$
∵GE⊥AC，GF⊥BC，
∴GE∥BC，GF∥AC，
∵G是AB的中点，
∴K，H分别是AC、CB的中点，
∴GK，GH是△ABC的中位线，
∴GK=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
GH=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴GH：GK=1；$\sqrt{3}$；

（2）不变，
理由如下：作GM⊥AC于M，GN⊥BC于N，
∴∠GMC=∠GNH=90°由旋转的性质可知：
∠2=∠1．
∴△GMK∽△GNH
∴$\frac{GH}{GK}$=$\frac{GN}{GM}$，
∵GN：GM=1：$\sqrt{3}$，
∴GH：GK=1：$\sqrt{3}$
∴旋转角α满足条件：0°＜α＜30°时，GH：GK的值比值不变．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的运用．