Question

19．如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形（三边都相等，三个角都是60°），且B，C，E在同一直线上，连接BD交AC于点G，连接AE交CD于点H．求证：
（1）△BCD≌△ACE     
（2）DG=EH．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，求出∠BCD=∠ACE，由SAS证明△BCD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠CDG=∠CEH，证出∠DCG=∠ECH，由ASA证明△DCG≌△ECH，得出对应边相等即可．

解答 证明：（1）∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCD=∠ACE}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△BCD≌△ACE，
∴∠CDG=∠CEH，
∵∠DCG=180°-2×60°=60°，
∴∠DCG=∠ECH，
在△DCG和△ECH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CDG=∠CEH}&{\;}\\{DC=EC}&{\;}\\{∠DCG=∠ECH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△ECH（ASA），
∴DG=EH．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．