Question

9．如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁各边中点，得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，如此进行下去，得到四边形A_nB_nC_nD_n．下列结论正确的有（　　）
①四边形A₂B₂C₂D₂是矩形；②四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；③四边形A₅B₅C₅D₅的周长是$\frac{a+b}{4}$，④四边形A_nB_nC_nD_n的面积是$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A₅B₅C₅D₅的周长；
④根据四边形A_nB_nC_nD_n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．

解答 解：①连接A₁C₁，B₁D₁．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A₁B₁C₁D₁，
∴A₁D₁∥BD，B₁C₁∥BD，C₁D₁∥AC，A₁B₁∥AC；
∴A₁D₁∥B₁C₁，A₁B₁∥C₁D₁，
∴四边形A₁B₁C₁D₁是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A₁B₁C₁D₁是矩形，
∴B₁D₁=A₁C₁（矩形的两条对角线相等）；
∴A₂D₂=C₂D₂=C₂B₂=B₂A₂（中位线定理），
∴四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
故本选项错误；
②由①知，四边形A₂B₂C₂D₂是菱形； 
∴根据中位线定理知，四边形A₄B₄C₄D₄是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A₅B₅=$\frac{1}{2}$A₃B₃=$\frac{1}{4}$A₁B₁=$\frac{1}{8}$AC，B₅C₅=$\frac{1}{2}$B₃C₃=$\frac{1}{4}$B₁C₁=$\frac{1}{8}$BD，
∴四边形A₅B₅C₅D₅的周长是2×$\frac{1}{8}$（a+b）=$\frac{a+b}{4}$，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S_{四边形ABCD}=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形A_nB_nC_nD_n的面积是$\frac{ab}{{2}^{n+1}}$，
故本选项正确．
综上所述，②③④正确．
故选C．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系是最关键的．