Question

10．如图1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形，点P为边BC上任意一点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）那么∠MPN=60°，并求证PM+PN=3a；
（2）如图2，联结OM、ON．求证：OM=ON；
（3）如图3，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC即可得出∠MPN的度数；作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解；
（2）由SAS证明△OMA≌△ONE，得出对应边相等即可；
（3）由△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON，再证出△GOE≌△NOD，得出OG=ON，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形即可得出四边形MONG是菱形．

解答 （1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均为边长为a的等边三角形
∴六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，
∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°，
故答案为：60°；
作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，如图所示：
MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，
∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，
∴GM=$\frac{1}{2}$AM，HP=$\frac{1}{2}$BP，PL=$\frac{1}{2}$PC，NK=$\frac{1}{2}$ND，
∵AM=BP，PC=DN，
∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，
∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．
（2）证明：由（1）得：六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM=BP=EN，
∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，
在△OMA和△ONE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠MAO=∠OEN}\\{AM=EN}\end{array}\right.$，
∴△OMA≌△ONE（SAS）
∴OM=ON．
（3）解：四边形MONG是菱形；理由如下：
由（2）得，△OMA≌△ONE，
∴∠MOA=∠EON，
∵EF∥AO，AF∥OE，
∴四边形AOEF是平行四边形，
∴∠AFE=∠AOE=120°，
∴∠MON=120°，
∴∠GON=60°，
∵∠GOE=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON，
∴∠GOE=∠DON，
∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，
在△GOE和△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GOE=∠DON}\\{OE=OD}\\{∠ODN=∠OEG}\end{array}\right.$，
∴△GOE≌△NOD（ASA），
∴OG=ON，
又∵∠GON=60°，
∴△ONG是等边三角形，
∴ON=NG，
又∵OM=ON，∠MOG=60°，
∴△MOG是等边三角形，
∴MG=GO=MO，
∴MO=ON=NG=MG，
∴四边形MONG是菱形．

点评 本题是四边形的综合题目，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、正六边形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形全等和等边三角形才能得出结论．