Question

已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分线．
（1）当点C，E，F在直线AB的同侧（如图1所示）时．试说明∠BOE=2∠COF；
（2）当点C与点E，F在直线AB的两旁（如图2所示）时，（1）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；
（3）将图2中的射线OF绕点O顺时针旋转m°（0＜m＜180），得到射线OD．设∠AOC=n°，若∠BOD=(60-

2n

3

)°，则∠DOE的度数是

（30+

5

3

n）°或（150+

1

3

n）°

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）设∠COF=α，则∠EOF=90°-α，根据角平分线性质求出∠AOF、∠AOC、推出∠BOE即可；
（2）设∠AOC=β，求出∠AOF，推出∠COF、∠BOE、即可推出答案；
（3）根据∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE或∠DOE=∠BOE+∠BOD和∠AOE=90°-∠AOC，代入求出即可．

解答：解：（1）设∠COF=α，则∠EOF=90°-α，
∵OF是∠AOE平分线，
∴∠AOF=90°-α，
∴∠AOC=（90°-α）-α=90°-2α，
∠BOE=180°-∠COE-∠AOC，
=180°-90°-（90°-2α），
=2α，
即∠BOE=2∠COF；

（2）解：成立，
设∠AOC=β，则∠AOF=

90°-β

2

，
∴∠COF=45°+

β

2

=

1

2

（90°+β），
∠BOE=180°-∠AOE，
=180°-（90°-β），
=90°+β，
∴∠BOE=2∠COF；

（3）解：
分为两种情况：如图3，∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE，
=180°-（60-

2n

3

）°-（90°-n°），
=（30+

5

3

n）°，
如图4，
∵∠BOE=180°-∠AOE=180°-（90°-n°）=90°+n°，∠BOD=（60-

2n

3

）°
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD，
=（90°+n°）+（60-

2n

3

）°，
=（150+

1

3

n）°
故答案为：（30+

5

3

n）°或（150+

1

3

n）°．

点评：本题考查了角平分线定义，角的大小计算等知识点的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，有一定的代表性．