Question

已知点P是抛物线y=

1

4

x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d₁，点P与点F（0，2）的距离为d₂．
（1）请写出所给抛物线的顶点坐标；
（2）猜想d₁、d₂的大小关系，并证明；
（3）若直线PF交此抛物线于另一点Q，如图，试判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据抛物线的解析式和顶点坐标公式即可得出抛物线的顶点坐标．
（2）本题需先根据已知条件设出P点的坐标，分别得出d₁和d₂的平方的值，即可得出d₁、d₂的大小关系．
（3）本题需先设出P、Q点的坐标，再根据已知条件解出所求的值，即可得出PQ为直径的圆与x轴的位置关系即可．

解答：解：（1）∵抛物线的解析式为：y=

1

4

x2+1
∴抛物线的顶点坐标是：（0，1）

（2）设P（m，

m2

4

+1）
则d₁²=（

m2

4

+1）²=

m4

16

+

m2

2

+1
d₂²=m²+（

m2

4

+1-2)2=

m4

16

+

m2

2

+1
∴d₁²=d₂²
∵d₁＞0，d₂＞0
∴d₁=d₂

（3）取QP中点G，作QN⊥x轴，PM⊥x轴，取MN中点R，连接GR，
同（2）可证得QF=QN，PF=PM，
由梯形中位线：2GR=QN+PM，
则2GR=QF+PF，
即2GR=QP=2r
则以PQ为直径的圆与x轴相切．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要结合已知条件设出所需要的坐标是解题的关键，这是一道常考题．