Question

20．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF边CE上，DG平分∠EGC，延长GD交BE于H，EG与FH交于点M，若DC=$2-\sqrt{2}$，则GM=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，设O是EG的中点，连接OH，交CE于N，则OH是△BGE的中位线，由△DHN∽△DGC与△EFM∽△OMH，求得两个三角形的边长的比，即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
同理可得CE=CG，∠DCG=90°，
在△BCE和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCE=∠DCG=90°}\\{CE=CG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC=∠DGC，
∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，
∴∠EDH+∠BEC=90°，
∴∠EHD=90°，
∴HG⊥BE，
在△BGH和△EGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EHG=∠BHG}\\{HG=HG}\\{∠EGH=∠BGH}\end{array}\right.$，
∴△BGH≌△EGH（ASA），
∴BH=EH，
设O是EG的中点，连接OH，交CE于N，如图所示：则OH为△BEG的中位线，HN为△BCE的中位线，
设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，
∵OH为△BEG的中位线，
∴OH∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴$\frac{DN}{DC}$=$\frac{HN}{CG}$，即$\frac{b-2a}{2a}$=$\frac{a}{2b}$，
整理得：a²+2ab-b²=0，
解得：a=（-1+$\sqrt{2}$）b，或a=（-1-$\sqrt{2}$）b（舍去），
∵a=2-$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∵OH∥BG，
∴EF∥OH，
∴△EFM∽△OMH，
∴$\frac{EM}{OM}$=$\frac{EF}{OH}$=$\frac{2b}{a+b}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CE=$\sqrt{2}$，
∴EG=2，
∴OE=OG=1，
∴$\frac{OM}{OE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，即$\frac{OM}{1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$，
∴OM=$\sqrt{2}$-1，
∴GM=OG+OM=$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质求得三角形的边长的比是解决问题的关键．