Question

12．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c，根据图象，回答下列问题：
（1）判断下列各代数式的符号：a，b，c，b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c；
（2）写出不等式ax²+bx+c＜0的解集；
（3）若方程ax²+bx+c=k，有两个不相等的实根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据顶点坐标和与x轴交点（1，0）可求出抛物线的解析式，从而得出a、b、c的值，并能计算出b²-4ac，a-b+c，4a²-2b+c的值；也可以利用图象确定a、b、c的符号，根据抛物线的个数确定b²-4ac的符号，根据x=-1时所对应的y值确定a-b+c的符号；
（2）先求出抛物线与x轴另一个交点的坐标，再根据图象写出不等式ax²+bx+c＜0的解集，即y＜0时，所对应的x的取值；
（3）抛物线与y=k有两个不同的交点，当k=6时，有一个交点，当k＞6时，无交点，当k＜6时，有两个交点，所以k＜6．

解答 解：（1）由图象可知其顶点坐标为（-1，6），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+1）²+6，
又∵图象过（1，0），
∴代入得：0=a（1+1）²+6，得a=-$\frac{3}{2}$，
∴y=-$\frac{3}{2}$（x+1）²+6=-$\frac{3}{2}$x²-3x+$\frac{9}{2}$，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b²-4ac＞0，
由图可知：当x=-1时，y=6，即a-b+c=6＞0，
4a²-2b+c=4×（-$\frac{3}{2}$）²-2×（-3）+$\frac{9}{2}$=9+6+$\frac{9}{2}$＞0；
（2）由对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（-3，0），
∴不等式ax²+bx+c＜0的解集为x＜-3或x＞1；
（3）方程ax²+bx+c=k，有两个不相等的实根，相当于抛物线与y=k有两个不同的交点，
∴k＜6．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程及不等式的关系，利用数形结合，解决问题；同时还考查了抛物线y=ax²+bx+c中，a，b，c，b²-4ac，a-b+c等符号的判别，可以通过计算解析式代入求得，也可以根据图象直接判别；这就需要熟练掌握以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．
③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．