Question

如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，-2

3

），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出一次函数解析式，代入A、C两点的坐标即可解决问题；
（2）把A、B、C三点代入抛物线y=ax²+bx+c，列出三元一次方程组解答即可；
（3）利用轴对称图形的性质，找出点B关于直线AC的对称点，进一步利用直角三角形的性质以及待定系数法与两直线的相交的关系求得答案．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），C（0，-2

3

）代入解析式得，

0=-2k+b -2 3 =b

，
解得

k=- 3 b=-2 3

，
∴y=-

3

x-2

3

；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2

3

）三点代入抛物线y=ax²+bx+c得，

0=4a-2b+c 0=36a+6b+c -2 3 =c

，
解得：

a= 3 6 b=- 2 3 3 c=-2 3

，
∴所求抛物线方程为y=

3

6

x2-

2 3

3

x-2

3

；

（3）存在满足条件的点P．
∵抛物线方程为y=

3

6

(x-2)2-

8 3

3

，
∴顶点D的坐标为(2，-

8 3

3

)
要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P，
∵AC²=16，BC²=48，AB²=64，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴B'P=BP，
∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，
则此时△BDP的周长最小，
∴点P就是所求的点，
过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B（6，0），C（0，-2

3

），
∴在Rt△BOC中，BC=4

3

，
∵OC∥B′H，B′C=BC，
∴OH=BO=6，
B′H=2OC=4

3

，
∴B′(-6，-4

3

)，
设直线B′D的解析式为y=mx+n，
∵D(2，-

8 3

3

)，B′(-6，-4

3

)在直线B′D上，
∴

-4 3 =-6m+n - 8 3 3 =2m+n

，
∴

m= 3 6 n=-3 3

，
∴y=

3

6

x-3

3

，
∵

y= 3 6 x-3 3 y=- 3 x-2 3

，
∴

x= 6 7 y=- 20 3 7

，
∴P(

6

7

，-

20 3

7

)，
∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时P(

6

7

，-

20 3

7

)．

点评：此题综合考查了待定系数法求函数解析式，轴对称图形的性质，两直线的位置关系，是一道综合性很强的题目．