已知:如图.点C是线段AB上的动点.分别以AC.BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE.AE于CD相交于点M.BD与CE相交于点N．①△ACE≌△DCB,②MN∥AB,③△CMN是等边三角形,④若AB的长为10cm.当点C在线段AB上移动时.则线段MN的最大长度为2.5cm,⑤MN2=EN•DM,其中结论正确的个数有( )A．2个B．3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

14．

已知：如图，点C是线段AB上的动点（C点于A、B不重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE于CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
①△ACE≌△DCB；②MN∥AB；③△CMN是等边三角形；④若AB的长为10cm，当点C在线段AB上移动时，则线段MN的最大长度为2.5cm；⑤MN²=EN•DM；
其中结论正确的个数有（　　）

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

分析先根据△ACD和△BCE是等边三角形可得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，故可得出∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，由SAS定理即可得出①；进一步得出得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，得出③；△MCN是等边三角形可得出②；可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论；证得△DMN∽△MNE得出结论⑤．

解答解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∠DCB=∠ACE，
在△ACE与△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠DCB=∠ACE}\\{BC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB；①成立；
∴∠CAE=∠BDC，
∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形③成立，
∴∠MNC=∠NCB=60°，
∴MN∥AB②成立．
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{EN}{EC}$，
∵AB的长为10cm，MN=ycm，AC=xcm．
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{10-x-y}{10-x}$
y=-$\frac{1}{10}$x²+x
=-$\frac{1}{10}$（x-5）²+2.5（0＜x＜10）；
∴当x=5时，MN的值最大，MN的最大长度为2.5cm，即当C点是AB中点时，线段MN的最大长度是2.5cm④成立．
∵MN∥AB，
∴∠MAC=∠EAM，∠DNM=∠CBN，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠BDC，∠CEA=∠DBC，
∴∠EMN=MDN，∠DNM=∠MEN，
∴△DMN∽△MNE，
∴$\frac{MN}{EN}$=$\frac{DM}{MN}$，
∴MN²=EN•DM；⑤成立．

点评本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质涉及面较广，难度适中．

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