Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）

（1）求抛物线的表达式；

（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．

②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；

（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P ，D；

；（3）存在，故PM+BM的最小值为．

【解析】

（1）把A（﹣3，0），B（9，0）两点，代入解析式即可

（2）先求出BC的解析式①把P,Q代入解析式即可解答

②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，在代入解析式即可

（3）根据点E是PQ的中点，求出点E的坐标，将其代入解析式②即可求出P，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，再证明△P′MC≌△PNC（AAS），即可解答

解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：

，解得： ，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+ x+3①；

（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，

将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线BC的表达式为：y＝﹣x+3②；

①点P的坐标为（﹣3+t，t），

点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；

②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，

即： [（6t﹣t2）]＝t，

解得：t＝；

（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，

点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，

将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，

即点P（﹣，）即点P是AC的中点，

作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，

则MH＝MB，

则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，

∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，

∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，

OM＝OC＝ ＝P′H，

故PM+BM的最小值为．