Question

已知正方形中，绕点沿顺时针方向旋转，它的

两边分别交（或它们的延长线）于点绕点旋转到时（如图28①）， 易证

（1）当绕点旋转到时（如图28②），线段之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；

（2）当绕点旋转到如图28③所示的位置时，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.(9分)

 

Answer 1

【答案】

（1）BM+DN=MN，证明见解析（2）DN-BM=MN，证明见解析

【解析】（1）BM+DN=MN成立．

证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，

得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．

∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，

又∵∠NAM=45°，

∴△AEM≌△ANM，

∴ME=MN，

∵ME=BE+BM=DN+BM，

∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．

在线段DN上截取DQ=BM，

易证△AMN≌△AQN，

故MN=QN，

所以DN-BM=MN．

（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．

（2）DN-BM=MN．证明方法与（1）类似．