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【题目】在平面直角坐标系中,如果某点的横坐标与纵坐标的和为10,则称此点为合适点例如,点(19),(﹣20192029都是合适点

1)求函数y2x+1的图象上的合适点的坐标;

2)求二次函数yx25x2的图象上的两个合适点AB之间线段的长;

3)若二次函数yax2+4x+c的图象上有且只有一个合适点,其坐标为(46),求二次函数yax2+4x+c的表达式;

4)我们将抛物线y2xn23x轴下方的图象记为G1,在x轴及x轴上方图象记为G2,现将G1沿x轴向上翻折得到G3,图象G2和图象G3两部分组成的记为G,当图象G上恰有两个合适点时,直接写出n的取值范围.

【答案】1)(37);(28;(3y=﹣x2+4x;(4n10n10+

【解析】

1)根据合适点的定义,联立x+y10y2x+1即可求解;

2)根据合适点的定义,联立x+y10yx25x2即可求解;

3)将点(46)代入二次函数表达式得:16a+16+c6…①,联立y10xyax2+4x+c并整理得:2x2+5x+c10)=0254ac10)=0…②,联立①②即可求解;

4)当直线m于图象G3只有一个交点时,直线m与图象G3合适点;当直线m经过点AB时,直线m与图象G3合适点,即可求解.

解:(1)联立

解得:

合适点的坐标为(37);

2)联立

解得:

故点AB的坐标分别为:(﹣212)、(64),

AB8

3)将点(46)代入二次函数表达式得:

16a+16+c6…①,

联立y10xyax2+4x+c并整理得:

ax2+5x+c10)=0

由题意可知:254ac10)=0…②,

联立①②并解得:a=﹣c0

故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x

4)图象G,如下图所示:

G1的顶点坐标为(n-3),G1的函数表达式为:y2xn2-3

G3的顶点坐标为(n3),则G3的函数表达式为:y=﹣2xn2+3

x+y10,则y10x

设直线m为:y10x

①当直线m与图象G3只有一个交点时,由图可知:直线mG2有两个交点

直线m与图象G3个交点,即有3合适点

联立直线mG3的表达式得:y=﹣2xn2+310x,整理得:

2x2﹣(4n+1x+2n2+7)=0

b24ac8n550,解得:n

故当n时,图象G恰好有2合适点

②当直线m经过点AB时,

直线m与图象G3个交点,即有3合适点,则在这两个点之间有2合适点

直线mx轴的交点为(100),

将(100)代入y2xn23并解得:n10

10n10+

综上,n的取值范围为:n10n10+

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