Question

如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．

Answer 1

解：AE=CF．
理由：过E作EG∥CF交BC于G，
∴∠3=∠C，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠3=∠BAD，
又∵∠1=∠2，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE（AAS），
∴AE=GE，
∵EF∥BC，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∴GE=CF，
∴AE=CF．
分析：过E作EG∥CF交BC于G，可得四边形EGCF是平行四边形，则GE=CF，需证AE=GE，可通过证明△ABE≌△GBE（AAS）证得．
点评：此题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．