Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°．


操作示例
小明取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，剪下△PEC（如图1），并将△PEC绕点P按逆时针方向旋转180°到△PFD的位置，拼成新的图形（如图2）．
（Ⅰ）思考与实践：
（1）操作后小明发现，拼成的新图形是矩形，请帮他说明理由；
（2）类比图2的剪拼方法，请你在图3画出剪拼成一个平行四边形的示意图．
（Ⅱ）发现与运用：
小白发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．
请你选择下面两题中的一题作答：（多做不加分，两题都做按第一题计分）
（1）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF⊥AB于点F，AB=5，EF=4，求梯形ABCD的面积．
（2）如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．

Answer 1

分析：利用旋转后三角形的一条变与原来的在同一条直线上，构成于原来一边平行即可得出平行四边形．

解答：解：（Ⅰ）（1）△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上，所以EF∥AB．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，又因为AD∥BC，所以四边形ABEF是一个平行四边形，∠A=90°，拼成的新图形是矩形．

（2）如图所示取AD的中点P，过点P做PE∥BC交AB于E，交CD的延长线于F

△PEA绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上，所以EF∥BC，由于图中AB∥CD
所以图中四边形BCFE是平行四边形．

（Ⅱ）（1）如下图所示：找出AB的中点M连接ME，作AN⊥BC于N

∵M，E分别是AB和DC的中点，四边形ABCD是梯形，AD∥BC
∴2EM=AD+BC，∠ABC=∠FME
在Rt△EFM中，EM=

EF

sin∠FME

=

EF

sin∠ABC

在Rt△ABN中，AN=AB×sin∠ABC
梯形ABCD的面积=

1

2

×（AD+BC）×AN=

1

2

×2EM×AN=

EF

sin∠ABC

×AB×sin∠ABC=4×5=20；

（2）能．

分别取AB、BC的中点F、H，连接FH并延长分别交AE、CD于点M、N，将△AMF与△CNH一起拼接到△FBH位置．

点评：本题考查利用尺规作图，作与原来三角形相等的或者旋转后在同一直线上来替代原来的三角形得到想要图形的能力．