Question

【题目】如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆上有一点C，且∠ABC＝60°，点D为AO上一点．将△DBC沿直线DC对折得到△DB'C，点B的对应点为B′，且B'C与半圆相切于点C，连接B′O交半圆于点E．

（1）求证：B'D⊥AB；

（2）当AB＝2时，求图中阴影部分面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到∠B'CO＝90，根据等边三角形的性质、翻转变换的性质计算，得到∠B′DB＝90°，证明结论；

（2）求出∠B′OC＝45°，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算即可．

（1）证明：连接OC，

∵B'C与半圆相切于点C，

∴∠B'CO＝90，

∵OC＝OB，∠ABC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°，∠B'CB＝∠B'CO+∠OCB＝90°+60°＝150°，

∵△DBC沿直线DC对折得到△DB'C，

∴∠DCB＝∠B’CB＝×150°＝75°，

在△DBC中，∠CDB＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣75°﹣60°＝45°

∴∠B′DB＝2∠CDB＝2×45°＝90°，

∴B′D⊥AB；

（2）解：∵AB＝2，△OBC是等边三角形，

∴OC＝OB＝BC＝B'C＝1，

∵∠B'CO＝90°，

∴∠B′OC＝45°，

∴阴影部分的面积＝S△B′OC﹣S扇形EOC＝B′CCO﹣＝×1×1﹣＝ ．