【题目】矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上,且长分别为m、4m,D为AB的中点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D.
(1)当m=1时,求抛物线y=﹣x2+bx+c的函数关系式;
(2)延长BC至点E,连接OE,若OD平分∠AOE,抛物线与线段CE相交,求抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标.
【答案】(1)抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+1;(2)此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(,).
【解析】
(1)由m=1,得:点A(0,1),点C(4,0),点B(4,1),点D(2,1),根据待定系数法,即可得到答案;
(2)由待定系数法得:抛物线的解析式为y=﹣x2+2mx+m,过点D作DA'⊥OE,交x轴于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N,连接AA',求出A′点坐标为(m,﹣m),进而得到:直线OA′的解析式为:y=﹣x,从而得到点E的坐标和抛物线l与直线CE的交点坐标,根据抛物线l与线段CE相交,求出≤m≤,进而求出抛物线顶点P到达最高位置时的坐标.
(1)如图1,
∵m=1,
∴点A(0,1),点C(4,0),点B(4,1),
∵D为AB的中点,
∴点D(2,1)
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D,
∴,解得:
∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+1;
(2)∵点A(0,m),点C(4m,0),点B(4m,m),
∵D为AB的中点,
∴点D(2m,m)
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D,
∴,解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2mx+m,
如图2,过点D作DA'⊥OE,交x轴于点Q,过点A′作A′N⊥x轴于点N,连接AA',
∵OD平分∠AOE,
∴∠AOD=∠A'OD,
又∵∠OAD=∠OA′D=90°,OD=OD,
∴△AOD≌△A'OD(AAS)
∴OA=OA′=m,AD=A′D=2m,∠ADO=∠A′DO,
∵矩形OABC中,AD∥OC,
∴∠ADO=∠DOQ,
∴∠A′DO=∠DOQ,
∴DQ=OQ.
设DQ=OQ=x,则A′Q=2m﹣x,
在Rt△OA′Q中,∵OA′2+A′Q2=OQ2,
∴m2+(2m﹣x)2=x2,
解得:x=m.
∵S△OA′Q=OQA′N=OA′A′Q,
∴A′N=,
∴ON=,
∴A′点坐标为(m,﹣m),
∴直线OA′的解析式为:y=﹣x,
当x=4m时,y=﹣×4m=﹣3m,
∴E点坐标为(4m,﹣3m).
当x=4m时,﹣x2+2mx+m=﹣(4m)2+2m4m+m=﹣8m2+m,
即抛物线l与直线CE的交点坐标为:(4m,﹣8m2+m),
∵抛物线l与线段CE相交,
∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0,
∵m>0,
∴﹣3≤﹣8m+1≤0,
解得:≤m≤;
∵y=﹣x2+2mx+m=﹣(x﹣m)2+m2+m,且≤m≤,
∴当x=m时,y有最大值m2+m,
又∵m2+m=(m+)2﹣,
∴当≤m≤时,m2+m随m的增大而增大,
∴当m=时,顶点P到达最高位置,即:m2+m=()2+=,
故抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为(,).
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【题目】一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片,文物学家希望能把此件文物进行复原,因此把残片抽象成了一个弓形,如图所示,经过测量得到弓形高CD=米,∠CAD=30°,请你帮助文物学家完成下面两项工作:
(1)作出此文物轮廓圆心O的位置(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)求出弓形所在圆的半径.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
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【题目】计算下列各题
某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2000元,设矩形一边长为,面积为平方米.
(1)求与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)设计费能可以达到30000元吗?为什么?
(3)当是多少米时,设计费最多?最多是多少元?
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【题目】如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限,两点,与坐标轴交于、两点,连结,.
(1)求与的函数解析式;
(2)将直线向上平移个单位到直线,此时,直线上恰有一点满足,,求的值.
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【题目】如图,四边形为正方形.点的坐标为,点的坐标为,反比例函数的图象经过点,一次函数的图象经过点和点.
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)写出的解集;
(3)点是反比例函数图象上的一点,若的面积恰好等于正方形的面积,求点坐标.
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【题目】在矩形ABCD中,AB=a,AD=b,点E为对角线AC上一点,连接DE,以DE为边,作矩形DEFG,点F在边BC上;
(1)观察猜想:如图1,当a=b时,=______,∠ACG=______;
(2)类比探究:如图2,当a≠b时,求的值(用含a、b的式子表示)及∠ACG的度数;
(3)拓展应用:如图3,当a=6,b=8,且DF⊥AC,垂足为H,求CG的长;
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【题目】如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A(3,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=4.
(1)求函数和y=kx+b的解析式;
(2)结合图象直接写出不等式组0<<kx+b的解集.
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