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【题目】矩形OABC的边OAOC分别在y轴和x轴的正半轴上,且长分别为m4mDAB的中点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D

1)当m1时,求抛物线y=﹣x2+bx+c的函数关系式;

2)延长BC至点E,连接OE,若OD平分∠AOE,抛物线与线段CE相交,求抛物线的顶点P到达最高位置时的坐标.

【答案】1)抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+1;(2)此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为().

【解析】

(1)m1,得:点A01),点C40),点B41),点D21),根据待定系数法,即可得到答案;

(2)由待定系数法得:抛物线的解析式为y=﹣x2+2mx+m,过点DDA'OE,交x轴于点Q,过点A′A′Nx轴于点N,连接AA',求出A′点坐标为(m,﹣m),进而得到:直线OA′的解析式为:y=﹣x,从而得到点E的坐标和抛物线l与直线CE的交点坐标,根据抛物线l与线段CE相交,求出≤m≤,进而求出抛物线顶点P到达最高位置时的坐标.

1)如图1

m1

∴点A01),点C40),点B41),

DAB的中点,

∴点D21

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D

,解得:

∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+1

2)∵点A0m),点C4m0),点B4mm),

DAB的中点,

∴点D2mm

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、点D

,解得:

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2mx+m

如图2,过点DDA'OE,交x轴于点Q,过点A′A′Nx轴于点N,连接AA'

OD平分∠AOE

∴∠AOD=∠A'OD

又∵∠OAD=∠OA′D90°ODOD

∴△AOD≌△A'ODAAS

OAOA′mADA′D2m,∠ADO=∠A′DO

∵矩形OABC中,ADOC

∴∠ADO=∠DOQ

∴∠A′DO=∠DOQ

DQOQ

DQOQx,则A′Q2mx

RtOA′Q中,∵OA′2+A′Q2OQ2

m2+2mx2x2

解得:xm

SOA′QOQA′NOA′A′Q

A′N

ON

A′点坐标为(m,﹣m),

∴直线OA′的解析式为:y=﹣x

x4m时,y=﹣×4m=﹣3m

E点坐标为(4m,﹣3m).

x4m时,﹣x2+2mx+m=﹣(4m2+2m4m+m=﹣8m2+m

即抛物线l与直线CE的交点坐标为:(4m,﹣8m2+m),

∵抛物线l与线段CE相交,

∴﹣3m≤8m2+m≤0

m0

∴﹣3≤8m+1≤0

解得:≤m≤

y=﹣x2+2mx+m=﹣(xm2+m2+m,且≤m≤

∴当xm时,y有最大值m2+m

又∵m2+m=(m+2

∴当≤m≤时,m2+mm的增大而增大,

∴当m时,顶点P到达最高位置,即:m2+m=(2+

故抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为().

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