Question

如图，AD是△ABC的角平分线，AB=AC+DC，求证：∠C=2∠B．

Answer 1

证明：在AB上截取AE=AC，连结DE，如图，
∵AB=AC+DC，
而AE=AC，AB=AE+EC，
∴BE=DC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
在△AED和△ACD中
，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴DE=DC，∠AED=∠C，
∴ED=EB，
∴∠B=∠EDB，
∵∠AED=∠B+∠EDB，
∴∠AED=2∠B，
∴∠C=2∠B．
分析：在AB上截取AE=AC，连结DE，由AB=AC+DC可得到BE=DC，根据角平分线定理可得到∠EAD=∠CAD，然后利用“SAS”可判断△AED≌△ACD，则DE=DC，∠AED=∠C，所以ED=EB，根据等腰三角形的性质得∠B=∠EDB，利用三角形外角性质得∠AED=∠B+∠EDB，然后代换后即可得到结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．