Question

如图，一次函数y=x+2的图象分别交轴、轴于A、B两点，O₁为以OB为边长的正方形OBCD的对角线的交点．两动点P、Q同时从A点出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动．AO₁交于轴于点E，设P、Q运动的时间为t秒．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求出E点的坐标和S_△ABE的值；
（3）当Q点运动在折线AD→DC上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S_△ABE：S_△APQ=4：3？若存在，请确定t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在y=x+2中，令y=0，则x=-2．令x=0，则y=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴BO=2，
∴OD=2，
∴C（2，2）．
设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则
∴
∴函数的解析式是：y=-x²+x+2；

（2）设直线AO的解析式为y=kx+m，
∵A（-2，0），O₁（1，1），
∴
∴
∴y=x+
∴E的坐标是（0，）；
∴BE=BO-EO=2-=．
∴S_△ABE=BE•AO=××2=．

（3）当0≤t≤2时，Q在AD上，P从A到B运动．
过P作PH⊥x轴于点H，
则AQ=2t，AP=t，
∴AH=PH=t，
∴S_△APQ=AQ•PH=•2t•t=t²．
∵S_△ABE：S_△APQ=4：3，
∴S_△APQ=1，
∴t²=1．
∵0≤t≤2，
∴t=1．
当2＜t≤3时，Q在DC上，P从B向A运动．延长AB、DC交于点F．
过Q作QM⊥AF于M，则∠F=∠BAD=45°，
∴MQ=QF．
∵DQ=2t-4，DF=AD=4，
∴QF=4-DQ=8-2t，
∴QM=（8-2t）．
又AP=2AB-t=4-t，
∴S_△APQ=AP•QM=（4-t）•（8-2t）=1
∴（4-t）²=1，
∵2＜t≤3，
∴4-t=1，
∴t=3，
故当t=1和3时，S_△ABE：S_△APQ=4：3．
分析：（1）根据正方形的性质即可求得C的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据待定系数法求得直线AO₁的解析式，求出E的坐标，根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3，两种情况进行讨论，利用相似三角形的性质，即可求解．
点评：用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．