Question

15．在?ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC⊥AB，点P在射线BC上，直线PD交射线AC于点E，DE=2PE，若BC=6，则线段AE的长为6$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由含30°角的直角三角形的性质得出AB=$\frac{1}{2}$BC=3，由勾股定理得出AC=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，由平行四边形的性质得出CD=AB=3，AB∥CD，∴AC⊥CD，证出△PCD是等边三角形，得出∠CDE=60°，CE=$\sqrt{3}$CD=3$\sqrt{3}$，得出AE=AC+CE=6$\sqrt{3}$即可．

解答 解：如图所示：
∵∠ABC=60°，对角线AC⊥AB，
∴∠PCE=∠ACB=90°-60°=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=3，AC=$\sqrt{3}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=3，AB∥CD，
∴AC⊥CD，
∴∠PCD=90°-30°=60°，
∵DE=2PE，
∴CP=$\frac{1}{2}$DE=PD，
∴△PCD是等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴CE=$\sqrt{3}$CD=3$\sqrt{3}$，
∴AE=AC+CE=6$\sqrt{3}$；
故答案为：6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△PCD是等边三角形是解决问题的关键．