Question

如图：已知，直线l₁⊥l₂，垂足为y轴上一点A，线段OA=2，OB=1．
（1）请直接写出A、B、C三点的坐标；
（2）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A、B、C，求出函数的解折式；
（3）（2）中的抛物线的对称轴上存在P，使△PBC为等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知了OA，OB的长，可直接写出A，B的坐标，求C点坐标时，可用射影定理先求出OC的长，进而可得出C的坐标；
（2）由于抛物线过B，C两点，因此可将抛物线的解析式设为交点式，然后根据A点的坐标可得出抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的解析式即可得出P点的横坐标，如果△PBC为等腰直角三角形，那么BC长的一半就是P点纵坐标的绝对值，由此可得出P点的坐标．

解答：解：（1）由已知得；A（0，2），B（-1，0），
根据射影定理得：OC=4，
故C（4，0）；

（2）先将B、C点坐标代入解析式得：

a+b+c=0 16a+4b+c=0

求得：

a= 1 2 b= 3 2

再将C点代入解析式可得：c=2，
所以解析式为y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（3）易知BC=4-（-1）=5，抛物线的对称轴为x=1.5．
若存在符合条件的P点，根据等腰直角三角形的性质可知：
|y_P|=

1

2

BC=2.5，
故：P（1.5，2.5）或P（1.5，-2.5）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定以及等腰直角三角形的判定等知识点，确定出二次函数的解析式是解题的关键．