Question

已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．
（1）①折叠后的所在圆的圆心为O'时，求O'A的长度；     ②如图2，当折叠后的经过圆心为O时，求的长度；     ③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．①如图4，当AB∥CD，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的与所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）①折叠后的所在圆O'与⊙O是等圆，∴O'A=OA=2；
②当经过圆O时，折叠后的所在圆O'在⊙O上，
如图2所示，连接O'A．OA．O'B，OB，OO'
∴△OO'A△OO'B为等边三角形，
∴∠AO'B=∠AO'O+∠BO'O=60°+60°=120°
∴==；
③如图3所示，连接OA，OB，
∴OA=OB=AB=2，
∵△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
∴OE=OAsin60°=．
（2）①如图4，当折叠后的与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H、交于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，根据垂径定理及折叠，可知PH=PE，PG=PF，
又∵EF=4，
∴点O到AB．CD的距离之和d为：d=PH+PG=PE+PF=（PE+PF）=2，
②如图5，当与不平行时，四边形是平行四边形．
证明如下：设O'O''为和所在圆的圆心，
∵点O'与点O关于AB对称，点O''于点O关于CD对称，
∴点M为的OO'中点，点N为OO''的中点
∴折叠后的与所在圆外切，
∴连心线O'O''必过切点P，
∴折叠后的与所在圆与⊙O是等圆，
∴O'P=O''P=2，
∴PM=OO''=ON，PM=ON，
∴四边形OMPN是平行四边形．