Question

12．已知：如图，⊙O的直径BC=2，点A在⊙O上，∠ABC=30°，D是$\widehat{AC}$的中点，弦DE⊥BC，连接AE
求：∠BAE的度数和AE的长．

Answer 1

分析 连接AC，由圆周角定理得出∠BAC=90°，由已知条件和垂径定理得出$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{CE}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$，得出∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，求出∠BAE=75°；连接BE，作AM⊥BE于M，则∠AMB=∠AME=90°，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=$\frac{1}{2}$BC=1，与勾股定理得出AB=$\sqrt{3}$，由圆周角定理得出∠CBE=∠EAC=15°，求出∠ABM=45°，得出△ABM是等腰直角三角形，由勾股定理得出AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由三角函数求出AE即可．

解答 解：∵连接AC，如图所示：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，弦DE⊥BC，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{CE}$=$\frac{1}{2}$$\widehat{AC}$，
∴∠EAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，
∴∠BAE=90°-15°=75°；
连接BE，作AM⊥BE于M，
则∠AMB=∠AME=90°，
∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°，AC=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵$\widehat{AD}=\widehat{CD}=\widehat{CE}$，
∴∠CBE=∠EAC=15°，
∴∠ABM=30°+15°=45°，
∴△ABM是等腰直角三角形，
∴AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AE=$\frac{AM}{sin60°}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、先的关系、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握圆周角定理，求出AM是解决问题的关键．