Question

19．如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．
（1）若∠A=50°，则∠BPC=115°；
（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A（用∠A表示）；
（3）如图2，若BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，交于点P，则∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A．（用∠A表示），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB=130°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB=65°，从而得出∠BPC的度数；
（2）与（1）同理可得：∠BPC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（3）由外角平分线的定义得：∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠BCE），并由两个平角和为360°和三角形内角和得出结论．

解答 解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×130°=65°，
∴∠BPC=180°-65°=115°，
故答案为：115°；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
由（1）得：∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A
故答案为：90°+$\frac{1}{2}$∠A
（3）∵BP，CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BCE，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠BCE），
∵∠DBC+∠ABC+∠ACB+∠BCE=360°，
∴∠DBC+∠BCE=360°-（∠ABC+∠ACB），
=360°-（180°-∠A），
=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
故答案为：90°-$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角和外角平角线的夹角与第三个角的关系．