Question

20．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），OB=OA，且∠AOB=120°．
（1）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式．
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M，N使得A，O，M，N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；
（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；
（3）分OA为对角线和为边两种情况进行讨论计算．

解答 解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°
∴OD=1，DB=$\sqrt{3}$
∴点B的坐标是（1，$\sqrt{3}$）．
设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b+c=\sqrt{3}}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$
∴所求抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$．
（2）存在，
∵△BOC的周长=OB+BC+CO，
又∵OB=2
∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O和点A关于对称轴对称
∴连接AB与对称轴的交点即为点C，
且有OC=OA
此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；
点C为直线AB与抛物线对称轴的交点
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（-2，0），B（1，$\sqrt{3}$）分别代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
当x=-1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴所求点C的坐标为（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
（3）如图，

①当以OA为对角线时，
OA与MN互相垂直且平分
∴点M（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
②当以OA为边时
OA=MN且OA∥MN
即MN=2，MN∥x轴
设N（-1，t）
则M（-3，t）或（1，t）
将M点坐标代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x$．
∴t=$\sqrt{3}$
∴M（-3，$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）
综上：点M的坐标为：M（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（-3，$\sqrt{3}$）或（1，$\sqrt{3}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，三角形的周长的最小值，平行四边形性质，解本题的关键是确定出点C的坐标，分类讨论是解本题的难点．