Question

2．已知，在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB=180°
（1）如图1，当BC=DC，求证：∠DAC=∠BAC
（2）如图2，在（1）条件下，当∠DAB=120°时，求证：AC=AD+AB
（3）如图3，在（2）条件下，AC，BD交于点E，若AC=3AB，BE=$\sqrt{7}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）过C作CM⊥AD于M，CF⊥AB交AB的延长线于F，根据四边形的内角和得到∠BAD+∠MCF=180°，等量代换即可得到∠DCB=∠MDF，进而得到∠DCM=∠CBF，再证明Rt△DCM≌Rt△BCF，得到CM=CF，所以AC平分∠BAC；即可得出结论；
（2）过点C作CM⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为M、F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CM=CF，AM=AF利用线段的和差AB+AD=AM+AF=2AF，再根据含30°的直角三角形的性质得出AC=2AF，进而得解；
（3）由（2）可得出AD=2AB，在根据角平分线定理求出DE，进而得出BD，在含30°的直角三角形AD中，表示出DN，AN，进而得出BN=2AB，最后用勾股定理求出AB，即可得出AC．

解答 解：（1）如图，过D作CM⊥AD于M，CF⊥AB交AB的延长线于F，

∵CM⊥AD，CF⊥AB，
∴∠AMC=90°，∠AFD=90°，
∴∠AMC+∠AFC=180°，
∴在四边形AMCF中，∠MAB+∠MCF=360°-（∠AMC+∠AFC）=180°，
∵∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠DCB=∠MCF，
∴∠DCM=∠BCF，
在Rt△DCM与Rt△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DMC=∠BFC=90°}\\{∠DCM=∠BCF}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCM≌Rt△BCF，
∴CM=CF，
∵CM⊥AD，CF⊥AB
∴AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC

（2）如图2，

过点C作CM⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为M、F，
∵∠DAC=∠BAC，
∴AM=AF，
由（1）知，△CDM≌△CBF（AAS），
∴DM=BF，
∴AD+AB=AM+DM+AB=AM+BF+AB=AM+AF=2AF，
∵∠DAC=∠BAC，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴AC=2AF
∴AD+AB=2AF=AC，
（3）如图3，
由（2）知，AC=AD+AB，
∵AC=3AB，
∴AD=2AB
由（1）知，∠DAC=∠BAC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DE}$，
∵BE=$\sqrt{7}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{DE}=\frac{AB}{2AB}=\frac{1}{2}$，
∴DE=2$\sqrt{7}$，
∴BD=BE+DE=3$\sqrt{7}$，
过点D作DN⊥AB，
在Rt△ADN中，∠DAN=180°-∠BAD=60°，
∴AN=$\frac{1}{2}$AD=AB，DN=$\sqrt{3}$AN=$\sqrt{3}$AB，
在Rt△BDN中，BN=AN+AB=2AB，DN=$\sqrt{3}$AB，BD=3$\sqrt{7}$，
根据勾股定理得，DN²+BN²=BD²，
∴3AB²+4AB²=（3$\sqrt{7}$）²，
∴AB=3，
∴AC=3AB=9．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，角平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．