Question

【题目】如图（1），点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．

（1）AE和ED的数量关系为________，AE和ED的位置关系为________；

（2）在图（2）中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图（2）和图（3）．

①在图（2）中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点．

求证：GH=HD，GH⊥HD．

②在图（3）中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC=2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）AE=ED，AE⊥ED；（2）①证明见解析；②CH的长为k．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED；

（2）①根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，进而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；

②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，进而得出CH的长．

（1）∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
故答案为：AE=ED，AE⊥ED；

（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF与△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，
∴∠GFE=∠C，
∴EH=HC=EC，
∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，
∴△HGF≌△DHC．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．

②根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
∴，
∴△GFH≌△HCD，
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=2，
∴BE=EC=1，
∴EF=k，
∴CH的长为k．