Question

12．如图，点A在双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上，点B在双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）上，且AB平行于x轴，BC∥AO交x轴于点C，交双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）于点D，连接AD．
（1）设点A的纵坐标为n，用n表示AB的长为$\frac{9}{n}$；
（2）当OC=3时，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令两个双曲线解析式中y=n，求出x值，即可得出点A、B的坐标，再由AB∥x轴，结合两点的坐标即可求出线段AB的长；
（2）由AB∥OC，BC∥AO可得出四边形ABCO为平行四边形，从而得出AB=OC=3，结合（1）即可求出n的值以及点A、B、C的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出摘下BC的解析式，联立直线BC的解析式和双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）即可得出关于x、y的方程组，解方程组即可求出交点D的坐标．

解答 解：（1）令双曲线y=$\frac{6}{x}$（x＞0）中y=n，即n=$\frac{6}{x}$，
解得：x=$\frac{6}{n}$，即点A的坐标为（$\frac{6}{n}$，n）；
令双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）中y=n，即n=-$\frac{3}{x}$，
解得：x=-$\frac{3}{n}$，即点B的坐标为（-$\frac{3}{n}$，n）．
∴AB=$\frac{6}{n}$-（-$\frac{3}{n}$）=$\frac{9}{n}$．
故答案为：$\frac{9}{n}$．
（2）∵AB∥OC，BC∥AO，
∴四边形ABCO为平行四边形，
∴AB=OC=3．
∵AB=$\frac{9}{n}$=3，
∴n=3，
∴点B（-1，3），点C（-3，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵点B（-1，3）、点C（-3，0）在直线BC上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-k+b}\\{0=-3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$．
联立直线BC与双曲线y=-$\frac{3}{x}$（x＜0）得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$．
∴点D的坐标为（-2，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及平行四边形的判定及性质，解题的关键是：（1）用n表示出点A、B的坐标；（2）找出直线BC的解析式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．