[题目]阅读材料:“三角形的三个顶点确定一个圆.这个圆叫做三角形的外接圆.外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形. (苏科版九上 2.3确定圆的条件)问题初探:(1)三角形的外心到三角形的距离相等(2)若点O是△ABC的外心.试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系.(3)如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】阅读材料：

“三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”（苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件）

问题初探：

（1）三角形的外心到三角形的_____________距离相等

（2）若点O是△ABC的外心，试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD，连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O，并求∠ADB的度数。（保留作图痕迹，不写作法。）

【答案】（1）三个顶点；（2）∠BOC=2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC ；（3）

【解析】

（1）由三角形的三顶点都在圆上且圆上个点到圆心的距离相等可得答案；

（2）分∠BAC为锐角、直角、钝角三种情况，锐角时作直径AD，由OA=OB=OC知∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，据此得∠BOD=2∠BAO、∠COD=2∠CAO，根据∠BOC=∠BOD+∠COD可得；直角时由OA=OB=OC知点O是斜边BC的中点，据此可得；钝角时，根据∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD可得；

（3）由旋转性质知BC=BD、∠BCD=∠BDC=75°，证△OCD为等边三角形得OC=CD，再证△ACD≌△BCO得∠ADC=∠BOC=150°，根据∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC可得答案．

解：（1）∵三角形的三顶点都在圆上，

∴圆心到三角形的三顶点的距离相等；

（2）①当∠BAC为锐角时，如图1，作直径AD，

∵OA=OB=OC，

∴∠OAB=∠OBA、∠OAC=∠OCA，则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，

∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠BAO+2∠CAO

=2（∠BAO+∠CAO）=2∠BAC；

②当∠BAC为直角时，如图2，

∵⊙O是△ABC的外接圆，

∴OA=OB=OC，

∴点O是斜边BC的中点，此时∠BOC=180°，∠BAC=90°，

∴∠BOC=2∠BAC；

③当∠BAC为钝角时，如图3，作直径AD，

∵OA=OB=OC，

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，

则∠BOD=2∠BAO，∠COD=2∠CAO，

∵∠BAC=∠BAO+∠CAO，

∴∠BOC=∠BOA+∠COA=180°-∠BOD+180°-∠COD

=360°-（∠BOD+∠COD）=360°-（2∠BAO+2∠CAO）

=360°-2（∠BAO+∠CAO）=360°-2∠BAC，

即∠BOC=360°-2∠BAC；

综上可知，∠BOC==2∠BAC或∠BOC=360°-2∠BAC；

（3）如图4，点O为△BCD的外心，

由“将线段BC绕点B逆时针方向旋转30°到BD”可得：∠CBD=30°，CB=DB，

∴∠BCD=∠BDC=75°，

∴∠BOC=2∠BDC=150°．

又点O为△BCD的外心，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=15°，

又∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°，

∴∠ACD=∠BCO，∠OCD=60°，

∵OD=OC，

∴△OCD为等边三角形，

∴CD=CO．

在△DCA和△OCB中，

∵，

∴△DCA≌△OCB（SAS），

∴∠ADC=∠BOC=150°，

∴∠ADB=360°-∠ADC-∠BDC=135°．

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