Question

7．菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC、CD边上的点，连接AE、EF、AF．
（1）如图1，若点E、F分别是边BC、CD边上的中点．则△AEF是等边三角形；
（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形；
（3）如图3，若∠AEF=60°，（2）中的结论是否成立？如果成立．请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质和等边三角形的判定方法得，△ABC是等边三角形．则AE⊥B，∠EAC=30°，同理∠CAF=30°，∠EAF=60°，再证明△ABE≌△ADF，得到AE=AF，则△AEF是等边三角形．
（2）连结AC，如图，根据菱形的性质得AB=BC，而∠B=60°，则可判定△ABC为等边三角形，得到∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，易得∠ACF=60°，∠1=∠3，然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC，于是得到AE=AF，即可解答；
（3）成立，作EG∥AB于G，则∠GEC=∠B=60°，先证明△ABC是等边三角形，∠BCF=120°，得出∠ACB=60°，再证明△GEC是等边三角形，得出EG=EC，∠EGC=60°，得出∠EAG=120°，证出∠1=∠2，由ASA证明△AEG≌△FEC，得出对应边相等即可，即可得到三角形AEF为等边三角形．

解答 解：（1）如图1，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠B=∠D，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=AD=CD，
∴∠CAD=60°，
∴∠BAD=120°，
∵E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠EAC=30°，
同理：∠CAF=30°
∴∠EAF=60°，
∵点E、F分别是边BC、CD边上的中点，BC=DC，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
故答案为：等边．
（2）连结AC，如图2，

∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠2=60°，∠1+∠4=60°，AC=AB，
∴∠ACF=60°，
∵∠EAF=60°，即∠3+∠4=60°，
∴∠1=∠3，
在△AEB和△AFC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形．
（3）成立，
连接AC，作EG∥AB交AC于点G，如图3所示：

则∠GEC=∠B=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACD，
∴△ABC是等边三角形，∠BCF=120°，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACB=∠GEC=60°，
∴△GEC是等边三角形，
∴EG=EC，∠EGC=60°，
∴∠EAG=120°，
∵∠AEF=60°=∠GEC，
∴∠1=∠2，
在△AEG和△FEC中，
 $\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EG=EC}\\{∠EGA=∠ECF=12{0}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△FEC（ASA），
∴AE=EF，
∵∠AEF=60°，
∴△AEF为等边三角形．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．