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如图,⊙C经过坐标原点O,分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点B、A,点B的坐标为(4,0),点M在⊙C上,并且∠BMO=120度.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点P是⊙C上的点,过点P作⊙C的切线PN,若∠NPB=30°,求点P的坐标;
(3)若点D是⊙C上任意一点,以B为圆心,BD为半径作⊙B,并且BD的长为正整数.
①问这样的圆有几个?它们与⊙C有怎样的位置关系?
②在这些圆中,是否存在与⊙C所交的弧(指⊙B上的一条弧)为90°的弧,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)连接AB.根据圆内接四边形的性质发现60°的直角三角形,从而求得点A的坐标,根据待定系数法即可求得直线的解析式;
(2)首先根据切线的性质和角的度数能够正确分析出点P的位置,从而求得点P的坐标;
(3)①根据两圆的位置关系与数量之间的联系进行分析;
②根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数,只需分析等腰直角三角形的边的长是否为整数.
解答:解:(1)连接AB,
∵四边形ABMO是圆内接四边形
∴∠BAO=180°-∠BMO=60°
∵OB=4
∴OA=4,即A点坐标为(O,4)
设直线AB的解析式是y=kx+b
把(0,4)和(4,0),代入,得:
4k+4=0,k=-
∴直线AB解析式为-+4;

(2)点P有两种情况:
第一种情况:作CH⊥OB,垂足为H,交弧OMB于P1,P1H=2,
点P1坐标为(2,-2),
第二种情况:作直径OP2,过点P2作0C的切线P2N2,连接P2B,
点P2的坐标为(4,4),
∴点P的坐标为(2,-2)或(4,4);

(3)①这样的圆有8个,它们与⊙C的位置关系是相交,内切;
②不存在;
过点C作0C直径D1D2,使DlD2⊥AB,
以点B为圆心,BD为半径作圆,
则0B上的劣弧D1D2的度数为90°,
连接BD1、BD2,则△BD1D2是等腰直角三角形,
BD1=4
不是正整数,∴不存在.
点评:此题要综合运用圆内接四边形的性质和特殊直角三角形的性质;
考查了两圆的位置关系以及弧的度数等于它所对的圆心角的度数.
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,在平面直角坐标系中,两个函数y=x,y=-
12
x+6的图象交于点A.动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动,作PQ∥x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与△OAB重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时,S与运动时间t(秒)的关系式.
(3)在(2)的条件下,S是否有最大值若有,求出t为何值时,S有最大值,并求出最大值;若没有,请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时,运动时间t满足的精英家教网条件是
 

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已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x(如图所示)与x的另一交点为A现将它向精英家教网右平移m(m>0)位,所得抛物线与x轴交于C、D点,与原抛物线交于点P
(1)求点P的坐标(可用含m式子表示);
(2)设△PCD的面积为s,求s关于m关系式;
(3)过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E,交平移后的抛物线于点F.请问是否存在m,使以点E、O、A、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知抛物线经过坐标原点,与x轴的另一个交点为A,且顶点M坐标为(1,2),
(1)求该抛物线的解析式;
(2)现将它向右平移m(m>0)个单位,所得抛物线与x轴交于C、D两点,与原抛物线交于点P,△CDP的面积为S,求S关于m的关系式;
(3)当m=2时,点Q为平移后的抛物线的一动点,是否存在这样的⊙Q,使得⊙Q与两坐标轴都相切?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

【问题】在正方形网格中,如图(一),△OAB的顶点分别为O(0,0),A(1,2),B(2,-1).
(1)以点O(0,0)为位似中心,按比例尺3:1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA′B′,放大后点A、B的对应点分别为A′、B′.画出△OA′B′,并写出点A'、B'的坐标:A′(
3
3
6
6
),B′(
6
6
-3
-3
);
(2)在(1)中,若点C(a,b)为线段AB上任一点,写出变化后点C的对应点C′的坐标(
3a
3a
3b
3b
);
【拓展】在平面内,先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点O为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为O(k,θ),其中点O叫做旋转相似中心,k叫做相似比,θ叫做旋转角.
【探索】如图(二),完成下列问题:
(3)填空:如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转60°,得到△ADE,这个旋转相似变换记为A(
2
2
60°
60°
);
(4)如图2,△ABC是边长为3cm的等边三角形,将它作旋转相似变换A(
43
,90°)
,得到△ADE,求线段BD的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,在平面直角坐标系中,A(16,0)、C(0,8),四边形OABC是矩形,D、E分别是OA、BC边上的点,沿着DE折叠矩形,点A恰好落在y轴上的点C处,点B落在点B′处.
(1)求D、E两点的坐标;
(2)反比例函数y=
kx
(k>0)
在第一象限的图象经过E点,判断B′是否在这个反比例函数的图象上?并说明理由;
(3)点F是(2)中反比例函数的图象与原矩形的AB边的交点,点G在平面直角坐标系中,以点D、E、F、G为顶点的四边形是平行四边形,求G点的坐标.

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