Question

12．如图，在⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB上一点，CM的延长线交⊙O于点E，连结DE．
（1）求证：AM•MB=EM•MC；
（2）若M为OB的中点，AB=8，DE=$\sqrt{15}$时，求MC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接AC，EB，易证得△AMC∽△EMB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AM•MB=EM•MC；
（2）由CD是直径，可得∠DEC=90°，然后由勾股定理求得EC的长，设CM=x，则EM=7-x，由AM•MB=EM•MC；可得方程6×2=x（7-x），解此方程即可求得答案．

解答 （1）证明：连接AC，EB，
则∠CAM=∠BEM，
又∵∠AMC=∠EMB，
∴△AMC∽△EMB，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{CM}{BM}$，
即AM•MB=EM•MC；

（2）解：∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴EC=$\sqrt{D{C}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（\sqrt{15}）^{2}}$=7，
∵OA=OB=4，M为OB的中点，
∴AM=6，BM=2，
设CM=x，则EM=7-x．
由（1）AM•MB=EM•MC，
得 6×2=x（7-x）
解得：x₁=3，x₂=4，
∴CM=3或4．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．